Integrales

La integración es el proceso inverso a la derivación. Mientras que la derivada mide la rapidez de cambio, la integral acumula esos cambios para hallar un total (como un área o un volumen).

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1. Definición y el Teorema Fundamental

La Integral como Área

Matemáticamente, la integral definida representa el área bajo la curva de una función $f(x)$ entre dos puntos $a$ y $b$. $\int_a^b f(x) \, dx$

El Teorema Fundamental del Cálculo

Establece que si $F(x)$ es la antiderivada de $f(x)$, entonces: $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$ (Esto se conoce como la Regla de Barrow).

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2. Propiedades de la Integral

Estas reglas te permiten “limpiar” la operación antes de resolverla:

1. Linealidad (Suma/Resta): $\int [f(x) \pm g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx$
2. Factor constante: $\int k \cdot f(x) \, dx = k \cdot \int f(x) \, dx$ (Las constantes salen de la integral).
3. Inversión de límites: $\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx$

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3. Métodos de Resolución con Ejemplos

A. Sustitución (Cambio de Variable)

Se usa cuando ves una función y su derivada dentro de la misma integral.

• Ejemplo: $\int \frac{\ln(x)}{x} dx$
• Paso: Hacemos $u = \ln(x)$, entonces $du = \frac{1}{x} dx$.
• Resultado: $\int u \, du = \frac{u^2}{2} + C \rightarrow \mathbf{\frac{(\ln(x))^2}{2} + C}$

B. Integración por Partes

Para productos de funciones de distinta naturaleza (Algebraica x Logarítmica, etc.).

• Fórmula: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ (Usa el truco LIATE para elegir $u$).
• Ejemplo: $\int x \cdot \cos(x) dx$
• Paso: $u=x, dv=\cos(x) \rightarrow du=dx, v=\sin(x)$.
• Resultado: $x \sin(x) - \int \sin(x) dx = \mathbf{x \sin(x) + \cos(x) + C}$

C. Fracciones Parciales

Para divisiones de polinomios. Descomponemos una fracción difícil en varias simples.

• Ejemplo: $\int \frac{1}{(x-2)(x-3)} dx$
• Paso: Se separa en $\frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}$. Tras resolver, $A=-1$ y $B=1$.
• Resultado: $\int \frac{-1}{x-2} + \frac{1}{x-3} = \mathbf{\ln\left|\frac{x-3}{x-2}\right| + C}$

D. Sustitución Trigonométrica

Para eliminar raíces de la forma $\sqrt{a^2 - x^2}$ usando el Teorema de Pitágoras.

• Ejemplo: $\int \sqrt{1 - x^2} dx$
• Paso: Hacemos $x = \sin(\theta)$, lo que convierte la raíz en $\cos(\theta)$.
• Resultado: $\mathbf{\frac{1}{2}(\arcsin(x) + x\sqrt{1-x^2}) + C}$

E. Integrales Trigonométricas (Potencias)

Para potencias de seno y coseno.

• Ejemplo: $\int \sin^3(x) dx$
• Paso: Separamos en $\sin^2(x) \cdot \sin(x)$ y usamos $1-\cos^2(x)$.
• Resultado: $\mathbf{\frac{\cos^3(x)}{3} - \cos(x) + C}$

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4. Resumen de decisión: ¿Qué método usar?

1. ¿Es inmediata? Revisa la tabla básica.
2. ¿Hay una “función madre” y su derivada? $\rightarrow$ Sustitución.
3. ¿Es un producto (ej. $x \cdot e^x$)? $\rightarrow$ Por Partes.
4. ¿Es una división de polinomios? $\rightarrow$ Fracciones Parciales.
5. ¿Hay raíces cuadradas molestas? $\rightarrow$ Sust. Trigonométrica.

[Image: Flowchart for choosing the correct integration method]